结构光三维测量技术

$$I_k(x,y) = A(x,y) + B(x,y)\cos\left[\phi(x,y) + \frac{k\pi}{4}\right]$$

其中：k = 0, 1, 2, ..., 7

$$\phi(x,y) = \arctan2\left(\sum_{k=0}^{7} I_k(x,y) \sin\left(\frac{k\pi}{4}\right), \sum_{k=0}^{7} I_k(x,y) \cos\left(\frac{k\pi}{4}\right)\right)$$

分子（正弦项）计算：

$$\text{分子} = \sum_{k=0}^{7} I_k \sin\left(\frac{k\pi}{4}\right)$$

展开各项：

$$\begin{align} &= I_0 \cdot 0 + I_1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + I_2 \cdot 1 + I_3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &\quad + I_4 \cdot 0 + I_5 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + I_6 \cdot (-1) + I_7 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \end{align}$$

化简结果：

$$\boxed{\text{分子} = \frac{\sqrt{2}}{2}(I_1 + I_3 - I_5 - I_7) + I_2 - I_6}$$

分母（余弦项）计算：

$$\text{分母} = \sum_{k=0}^{7} I_k \cos\left(\frac{k\pi}{4}\right)$$

展开各项：

$$\begin{align} &= I_0 \cdot 1 + I_1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + I_2 \cdot 0 + I_3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\ &\quad + I_4 \cdot (-1) + I_5 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + I_6 \cdot 0 + I_7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \end{align}$$

化简结果：

$$\boxed{\text{分母} = I_0 - I_4 + \frac{\sqrt{2}}{2}(I_1 - I_3 - I_5 + I_7)}$$

算法流程：

步骤1：计算低频和中频的相位差

$$\Delta\phi_{12}(x,y) = \phi_2(x,y) - 8\phi_1(x,y)$$ $$\Delta\phi_{12}(x,y) = \text{wrap}(\Delta\phi_{12}(x,y)) \quad \text{归一化到}(-\pi, \pi]$$

步骤2：确定中频相位的周期序号

$$k_2(x,y) = \text{round}\left(\frac{8\phi_1(x,y) - \phi_2(x,y) + \Delta\phi_{12}(x,y)}{2\pi}\right)$$

步骤3：计算中频绝对相位

$$\boxed{\Phi_2(x,y) = \phi_2(x,y) + 2\pi k_2(x,y)}$$

步骤4：计算中频和高频的相位差

$$\Delta\phi_{23}(x,y) = \phi_3(x,y) - 8\Phi_2(x,y)$$ $$\Delta\phi_{23}(x,y) = \text{wrap}(\Delta\phi_{23}(x,y)) \quad \text{归一化到}(-\pi, \pi]$$

步骤5：确定高频相位的周期序号

$$k_3(x,y) = \text{round}\left(\frac{8\Phi_2(x,y) - \phi_3(x,y) + \Delta\phi_{23}(x,y)}{2\pi}\right)$$

步骤6：计算高频绝对相位

$$\boxed{\Phi_3(x,y) = \phi_3(x,y) + 2\pi k_3(x,y)}$$

相位差范围限制：

$$|\Delta\phi_{12}(x,y)| < \pi \quad \text{(低频-中频解包裹条件)}$$ $$|\Delta\phi_{23}(x,y)| < \pi \quad \text{(中频-高频解包裹条件)}$$

这确保了相位解包裹的唯一性和可靠性

最大可解包裹梯度：

$$\left|\frac{d\phi_1}{dx}\right| < \frac{\pi}{8} \quad \text{(低频梯度限制)}$$ $$\left|\frac{d\Phi_2}{dx}\right| < \frac{\pi}{8} \quad \text{(中频梯度限制)}$$

梯度限制确保在物体边缘和不连续区域的解包裹稳定性

高度计算公式：

$$z(x,y) = \frac{d \cdot \Phi_3(x,y)}{2\pi f_3 + \Phi_3(x,y) \cdot \tan\theta}$$

其中：d为投影仪与相机的基线距离，θ为投影角度，f₃为高频条纹频率

世界坐标系转换：

$$X(x,y) = \frac{(x - c_x) \cdot z(x,y)}{f_x}$$ $$Y(x,y) = \frac{(y - c_y) \cdot z(x,y)}{f_y}$$ $$Z(x,y) = z(x,y)$$

其中：(cₓ, cᵧ)为相机主点坐标，fₓ, fᵧ为相机在x、y方向的焦距参数

八步相移法精度公式：

$$\sigma_\phi = \frac{\sigma_I}{B} \cdot \frac{1}{\sqrt{N/2}}$$

其中：σᵢ为图像噪声标准差，B为条纹调制度，N为相移步数（N=8）

对于八步相移：σ_φ = σᵢ/(B·√4) = σᵢ/(2B)

深度精度公式：

$$\sigma_z = \frac{d \cdot \sigma_\phi}{2\pi \cdot 64f_1 \cos^2\theta} = \frac{d \cdot \sigma_\phi}{128\pi f_1 \cos^2\theta}$$

高频条纹（64倍基频）提供最高精度，精度与频率成反比

误差补偿公式：

$$\phi_{\text{corrected}} = \phi_{\text{measured}} + \Delta\phi_{\text{nonlinear}} + \Delta\phi_{\text{calibration}}$$

其中补偿项通过预标定获得，包括非线性误差和标定误差

非线性误差建模：

$$\Delta\phi_{\text{nonlinear}} = \sum_{n=2}^{N} a_n \sin(n\phi_{\text{measured}}) + b_n \cos(n\phi_{\text{measured}})$$

使用傅里叶级数展开建模设备的非线性响应特性